Question

【题目】已知函数的图象经过点，且在区间上单调递减，在上单调递增.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求的解析式；

（Ⅲ）若对于任意的，，不等式恒成立，试问：这样的是否存在，若存在，请求出的范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在且,理由见解析

【解析】

(Ⅰ)利用且联立可证明;

(Ⅱ)由(1)可得,从而可得的解析式;

(Ⅲ)将已知不等式恒成立转化为成立,然后分类讨论求出最大最小值代入即可解得.

（Ⅰ）∵

由题设可知即

由①得：，代入②得：，

化简得：，

∴；

（Ⅱ）将代入①式得：，则，

而又由，代入得，

∴即为所求；

（Ⅲ）

易知在及上均为增函数，在上为减函数.

因为对于任意的，，不等式恒成立，等价于,

所以（i）当时，在上递增.故,,

由

，得.这与相矛盾故舍去；

（ⅱ）当时，在上递减，在上递增，

∴，，

又,

因为,所以,

∴

∴恒成立，

故当时,原不等式恒成立.

综上：存在且符合题意.