Question

【题目】某高中组织数学知识竞赛，采取答题闯关的形式，分两种题型，每种题型设两关．“数学文化”题答对一道得5分，“数学应用”题答对一道得10分，答对一道题即可进入下一关，否则终止比赛．有甲、乙、丙三人前来参赛，设三人答对每道题的概率分别是 、 、 ，三人答题互不影响．甲、乙选择“数学文化”题，丙选择“数学应用”题．
（Ⅰ）求乙、丙两人所得分数相等的概率；
（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，求X的分布列与期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）乙、丙所得分数相等时，应为0分或10分，

其概率为P=（1﹣ ）×（1﹣ ）+ × × ×（1﹣ ）= ；

（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，则X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，

其概率为P（X=0）=（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=5）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=10）= × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）= ，

P（X=15）= × ×（1﹣ ）×（1﹣ ）= ，

P（X=20）= × × ×（1﹣ ）+（1﹣ ）× × = ，

P（X=25）= ×（1﹣ ）× = ，

P（X=30）= × × = ；

∴X的分布列为：

X	0	5	10	15	20	25	30
P

数学期望为EX=0× +5× +10× +15× +20× +25× +30× =

【解析】（Ⅰ）乙、丙所得分数相等时，应为0分或10分，计算对应的概率值即可；（Ⅱ）根据题意，X的可能取值为0，5，10，15，20，25，30，求出对应的概率值，写出X的分布列，再计算数学期望值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．