Question

（1）比较a2x2+1与ax2+2的大小．
（2）a∈R，f(x)=a-

2

2x+1

 若f（x）为奇函数，求f（x）的值域并判断单调性．

Answer 1

分析：（1）底数分a＞1和 1＞a＞0两种情况来考虑，指数按大于、等于、小于三种情况，并结合函数的单调性来考虑．
（2）由函数是奇函数，解出参数a，再代入函数解析式化简，判断单调性，并利用单调性求函数的值域．

解答：解：（1）由题意知，这两个数都是正数，

a2x2+1

ax2+2

=ax2-1，
当 a＞1时，若x=±1，ax2-1=0，a2x2+1=ax2+2；
            若x＞1或x＜-1，ax2-1＞1，a2x2+1＞ax2+2；
            若1＞x＞-1，ax2-1＜1，a2x2+1＜ax2+2；
当 1＞a＞0时，若x=±1，ax2-1=0，a2x2+1=ax2+2；
            若x＞1或x＜-1，1＞ax2-1＞0，a2x2+1＜ax2+2；
            若1＞x＞-1，ax2-1＞1，a2x2+1＞ax2+2；
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），a-

2

2-x+1

=a+

2

2x+1

，
解得 a=1，故f（x）=1+

-2

2x+1

  在其定义域内是增函数，
当x趋向-∞时，2^x+1趋向1，f（x）趋向-1，当x趋向+∞时，2^x+1趋向+∞，f（x）趋向1，
∴f（x）的值域（-1，1）．

点评：本题考查函数的单调性的判断和利用单调性求函数的值域，体现分类讨论的数学思想．