Question

过抛物线y²=2ax(a＞0)上一点A（,a）,作两条倾斜角互补的直线，分别与抛物线相交于另一点B、C，试推断当a变化时，直线BC的斜率是否为定值.__________

 

Answer 1

解析：

设直线AB的斜率为k(k≠0),点B（x₁,y₁）,C(x₂,y₂)，则直线AB的方程为y-a=k(x-),

联立y²=2ax,消去x,得

y-a=k(),即ky²-2ay+a²(2-k)=0.

∵y₁和a是方程的两根，∴ay₁=.

∴y₁=.

据题意，直线AC的斜率为-k，同理可得y₂=.

∴y₁+y₂=-=-2a.

∴k_BC==-1.

故直线BC的斜率为定值-1.