题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线W的顶点在原点,其焦点F在x轴的正半轴上,过点F作x 轴的垂线与W交于A、B两点,且点A在第一象限,|AB|=8,过点B作直线BC与x轴交于点T(t,0)(t>2),与抛物线交于点C.(1)求抛物线W的标准方程;
(2)若t=6,曲线G:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点,求实数a的取值范围;
(3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面积的最大值.
分析:(1)先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置,设抛物线的方程为y2=2px,再由,|AB|=8求得p值即可得到标准方程.
(2)若t=6即T(6,0),又B(2,-4),写出直线BC的方程为x-y-6=0,曲线G:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点说明圆心到直线的距离不大于半径,从而求得实数a的取值范围.
(3)直线BT 的方程为y=
(x-t),代入抛物线方程y2=8x,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合|OB|2+|OC|2≤|BC|2,∠BOC为钝角或直角,利用向量的数量积解得2<t≤8最后即可救是ABC的面积最大值.
(2)若t=6即T(6,0),又B(2,-4),写出直线BC的方程为x-y-6=0,曲线G:x2+y2-2ax-4y+a2=0与直线BC有公共点说明圆心到直线的距离不大于半径,从而求得实数a的取值范围.
(3)直线BT 的方程为y=
4 |
t-2 |
解答:解:(1)设抛物线的方程为y2=2px,(p>0)
令x=
,得y2=p2
所以2p=|AB|=8
抛物线的方程为y2=8x.…(4分)
(2)若t=6即T(6,0),又B(2,-4),则直线BC的方程为x-y-6=0…(5分)
曲线G:(x-a)2+(y-2)2=4,是以(a,2)为圆心,2为半径的圆 …(6分)
由题意
≤2,解得8-2
≤a≤8+2
.…(8分)
(3)直线BT 的方程为y=
(x-t),代入抛物线方程y2=8x,得:
2x2-(t2+4)x+2t2=0
因为t>2,所以△=t4-8t2+16=(t2-4)2>0.…(9分)
因为x=2是这个方程的一个根,设C(xC,yC)根据韦达定理2xC=t2,所以xC=
再由抛物线方程可得yC=2t,即点C(
,2t).…(10分)
因为|OB|2+|OC|2≤|BC|2,所以∠BOC为钝角或直角
所以
•
≤0,即2xC-4yC≤0,t2-8t≤0,且t>2,解得2<t≤8.…(12分)
ABC的面积S△ABC=
|AB|•(xC-2)=2t2-8
所以当t=8时,S△ABC最大值为120.….(14分)
令x=
p |
2 |
所以2p=|AB|=8
抛物线的方程为y2=8x.…(4分)
(2)若t=6即T(6,0),又B(2,-4),则直线BC的方程为x-y-6=0…(5分)
曲线G:(x-a)2+(y-2)2=4,是以(a,2)为圆心,2为半径的圆 …(6分)
由题意
|a-2-6| | ||
|
2 |
2 |
(3)直线BT 的方程为y=
4 |
t-2 |
2x2-(t2+4)x+2t2=0
因为t>2,所以△=t4-8t2+16=(t2-4)2>0.…(9分)
因为x=2是这个方程的一个根,设C(xC,yC)根据韦达定理2xC=t2,所以xC=
t2 |
2 |
再由抛物线方程可得yC=2t,即点C(
t2 |
2 |
因为|OB|2+|OC|2≤|BC|2,所以∠BOC为钝角或直角
所以
OB |
OC |
ABC的面积S△ABC=
1 |
2 |
所以当t=8时,S△ABC最大值为120.….(14分)
点评:本题主要考查抛物线的标准方程,考查直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系等知识.是中档题.
练习册系列答案
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