Question

【题目】已知函数f（x）= （p﹣2）x2+（2q﹣8）x+1（p＞2，q＞0）．
（1）当p=q=3时，求使f（x）≥1的x的取值范围；
（2）若f（x）在区间[ ，2]上单调递减，求pq的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（x）= x2﹣2x+1，

由f（x）≥1得： x2﹣2x+1≥1，解之得x≤0或x≥4，

所以使f（x）≥1的x的取值范围是{x|x≤0或x≥4}；

（2）解：当p＞2时，f（x）图象的开口向上，

要使f（x）在区间[ ，2]上单调递减，须有﹣ ≥2，

得p+q≤6，由p＞0，q＞0知p+q≥2 ，所以2 ≤6，得 pq≤9，

当p=q=3时，pq=9，

所以，pq的最大值为9

【解析】（1）问题转化为解不等式 x2﹣2x+1≥1，解出即可；（2）得到﹣ ≥2，即p+q≤6，由p＞0，q＞0，结合基本不等式的性质求出pq的最大值即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．