Question

（本小题满分14分）

设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，是否存在函数图像上两点以及函数图像上两点，使得以这四点为顶点的四边形ABCD满足如下条件：1四边形ABCD是平行四边形；2轴；3。若存在，指出四边形ABCD的个数；若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）当时，，得，且，．

所以，曲线在点处的切线方程是，

整理得．

（Ⅱ）解：，．

令，解得或．  

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．

（Ⅲ）若存在满足题意的四边形ABCD，则方程至少有两个相异实根，且每个实根对应一条垂直于x轴且与图像均相交的的线段，这些线段长度均相等。

，

1时，，令，

   令，得或

由表格知，为的极大值，为的极大值，而  ，故的图像与x轴有且只有一个交点，有且只有一个零点。

2时，，令，，

由1知为的极大值，为的极大值，而  ，故的图像与x轴有三个交点，有三个零点。

由12知，方程有四个不同的实根，从小到大依次记为，这四个根对应的四条线段中的每两条对应一个平行四边形ABCD，共有6个，所以满足题意的平行四边形ABCD有6个。