Question

已知函数f(x)=x+

a

x

，当x∈N^*时，f（x）≥f（2），则a的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：当x∈N^*时，f（x）≥f（2），即f（x）_min=f（2），分a≤0，a＞0两种情况讨论，利用基本不等式可及“对勾”函数的性质可得不等式组，解出即可．

解答：解：当x∈N^*时，f（x）≥f（2），即f（x）_min=f（2），
（1）当a≤0时，f（x）单调递增，此时f（x）≥f（1），不合题意；
（2）当a＞0时，f(x)=x+

a

x

≥

a

，当且仅当x=

a

时取等号，
要使x∈N^*时，f（x）≥f（2），须有

1＜ a ≤2 1+a≥2+ a 2

或

2＜ a ＜3 2+ a 2 ≤3+ a 3

，
解得2≤a≤4或4＜a≤6，即2≤a≤6，
∴a的取值范围为[2，6]，
故答案为：[2，6]．

点评：本题考查函数单调性的应用、函数的最值，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用基本不等式进行合理分类．