Question

在正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P．
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BE的中点D，连接DF．说明∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角，证明二面角A₁-EF-B为直二面角，证明A₁E┴平面BEF，即可证明A₁E⊥平面BEP；
（2）建立空间直角坐标系，求出，平面A₁BP的法向量，利用，求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．
解答：解：不妨设正三角形的边长为3．
（1）在图1中，取BE的中点D，连接DF．
∵，AF=AD=2，又∠A=60°，△ADF为正三角形．
又∵AE=ED=1，
∴EF┴AD，
∴在图2中有A₁E┴EF，BE┴EF．
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．
∵二面角A₁-EF-B为直二面角，
∴A₁E┴BE
又∵BE∩EF=E，
∴即A₁E┴平面BEF，即A₁E┴平面BEP
（2）由（1）可知，A₁E┴平面BEP，BE┴EF，建立坐标系则E（0，0，0），A₁（0，0，1），（2，0，0），
F（0，，0），D（1，0，0），不难得出EF∥DP且EF=DP，DE∥EP且DE=FP．
故P点的坐标为（1，，0），
∴
设平面A₁BP的法向量=（x，y，z），
则
∴．
∴
∴A₁E与平面A₁BP所成角的大小为．
点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查计算能力，空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．