Question

（本小题满分13分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，

ABD和BCD均为等边三角形，AB=2，学科网AC=。

（1）求证：AO⊥平面BCD； （2）求二面角A—BC—D的大小；

   （3）求O点到平面ACD的距离。

Answer 1

(Ⅰ) 证明见解析。   (Ⅱ)  arctan2 （Ⅲ）

解析:

法一：（1）证明：连结OC，∵ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO²+CO²=AC²，

∴∠AOC=90⁰，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）

   （2）过O作OE垂直BC于E，连结AE， ∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE。

    ∴AE⊥BC。 ∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……（7分）

       在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。

       二面角A—BC—D的大小为arctan2。

       （3）设点O到面ACD的距离为∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴。

       在ACD中，AD=CD=2，AC=，。

       而AO=，，∴。

       ∴点O到平面ACD的距离为。…（13分）

解法二：（1）同解法一。

       （2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

       则O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

       ∵AO⊥平面DCD，     ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…（5分）

       设平面ABC的法向量，

       ，

       由。设与夹角为，

       则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………（8分）

   （3）解：设平面ACD的法向量为又

。……（11分）

设与夹角为，则设O到平面ACD的距离为，

∵,∴O到平面ACD的距离为。（13分）