题目内容

已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x-2）对任意 $数学公式$ 都成立，则实数a的取值范围是________．

（-∞，-5]
分析：根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，进而可将f（ax+1）≤f（x-2）对任意 $\text{[math]}$ 都成立，转化为ax+1≤x-2对任意 $\text{[math]}$ 都成立，即a≤ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都成立，即a小于等于函数y=1- $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的最小值，利用单调性法求出函数y=1- $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的最小值，可得实数a的取值范围
解答：根据奇函数在对称区间上单调性相同且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
若f（ax+1）≤f（x-2）对任意 $\text{[math]}$ 都成立，
则ax+1≤x-2对任意 $\text{[math]}$ 都成立，
即a≤ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都成立，
由函数y=1- $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为增函数，
故x= $\text{[math]}$ 时，最最小值-5
即a≤-5
故实数a的取值范围是（-∞，-5]
故答案为：（-∞，-5]
点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．