Question

已知抛物线y²=4px(p>0),O为顶点,A、B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求M的轨迹方程.

Answer 1

x²+y²-4px=0（除去原点）为所求.

解析:

设M（x₀，y₀）,则k_OM=，k_AB=-，

直线AB方程是y=-（x-x₀）+y₀.

由y²=4px可得x=,将其代入上式，整理得

x₀y²-（4py₀）y-4py₀²-4px₀²=0.①

此方程的两根y₁、y₂分别是A、B两点的纵坐标.

根据韦达定理得，由①可得y₁·y₂=，

又∵A、B在抛物线上，∴A(，y₁)、B(，y₂).

∵OA⊥OB，∴k_OA·k_OB=-1.

∴·=-1.∴y₁y₂=-16p².

∴=16p².

化简得x₀²+y₀²-4px₀=0，即x²+y²-4px=0（除去原点）为所求.