Question

已知函数f(x)=

3x-1

3x+1

．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据已知中函数的解析式，可得函数的定义域为R关于原点对称，分析f（x）与f（-x）的关系，结合函数奇偶性的定义，可判断出f（x）的奇偶性；
（2）在R中任取x₁＜x₂，利用指数的运算性质分析f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性质的定义，可判断f（x）的单调性；
（3）利用分离常数法，将函数的解析式化为f(x)=1-

2

3x+1

的形式，结合指数函数的性质，利用分析法，可得到函数f（x）的值域．

解答：证明：（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称
∵f（-x）=

3-x-1

3-x+1

=

1-3x

3x+1

=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）在R上单调递增，理由如下：
在R中任取x₁＜x₂，
则3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

3x1-1

3x1+1

-

3x2-1

3x2+1

=（1-

2

3x1+1

）-（1-

2

3x2+1

）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上单调递增
（3）∵f(x)=

3x-1

3x+1

=1-

2

3x+1

∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
∴0＜

2

3x+1

＜2
∴-2＜-

2

3x+1

＜0
∴-1＜1-

2

3x+1

＜1
故f（x）的值域为（-1，1）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的判断与证明，函数单调性的判断与证明，函数的值域，是函数图象和性质是简单综合应用，难度中档发．