Question

（2012•青浦区一模）设a，b∈R⁺，则

lim

n→∞

an+bn

(a+b)n

=

0

．

Answer 1

分析：结合题设条件，分a=b，a＜b，a＞b三种情况进行讨论，能够求出

lim

n→∞

an+bn

(a+b)n

的值．

解答：解：∵a，b∈R⁺，
∴当a=b时，

lim

n→∞

an+bn

(a+b)n

=

lim

n→∞

2an

(2a)n

=

lim

n→∞

1

2n-1

=0；
当a＜b时，则0＜

a

b

＜1，

a

b

+1＞1，
∴

lim

n→∞

（

a

b

）ⁿ=0，

lim

n→∞

（

a

b

+1）ⁿ=∞，
∴

lim

n→∞

an+bn

(a+b)n

=

lim

n→∞

( a b )n+1

( a b +1)n

=0；
当a＞b时，同理可得，原式=0；
综上所述，当a，b∈R+时，

lim

n→∞

an+bn

(a+b)n

=0．
故答案为：0．

点评：本题考查极限的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．