题目内容

已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ，给出下列命题：
①函数y=f（x）g（x）的最小正周期为2π；
②函数y=f（x）-g（x）的最大值是 $数学公式$ ；
③函数y=f（2x）的图象可由y=g（2x）的图象向左平移 $数学公式$ 个单位得到；
④函数y=f（2x）的图象可由y=g（2x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位得到．
其中正确命题的序号是 ________．（写出所有正确命题的序号）

②④
分析：对f（x）g（x）根据诱导公式和二倍角公式进行化简，进而可求出其最小正周期可判断①；根据诱导公式和两角和与差的公式进行化简，进而可求得最大值，可判断②；根据三角函数平移的左加右减原则进行平移可判断③和④．
解答：∵f（x）g（x）=cos（x+ $\text{[math]}$ ）sin（x- $\text{[math]}$ ）=sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x
∴T= $\text{[math]}$ ，故①不对；
∵y=f（x）-g（x）=cos（x+ $\text{[math]}$ ）-sin（x- $\text{[math]}$ ）=cosx-sinx= $\text{[math]}$ cos（x+ $\text{[math]}$ ）
∴y=f（x）-g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，故②正确；
将y=g（2x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）向左平移 $\text{[math]}$ 得到y=sin[2（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=-sin2x
故③不对；
将y=g（2x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）向右平移 $\text{[math]}$ 得到y=sin[2（x- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=-sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=-sin2x
故④正确
故答案为：②④．
点评：本题主要考查三角函数的最小正周期、最值和三角函数的平移问题．考查基础知识的综合应用和灵活应用能力．对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和练习．