Question

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0， x＞0)
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；
（Ⅱ）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值；
（Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定义法证明函数的单调性；
（2）f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，值域是[

1

2

，2]，则f(

1

2

)=

1

2

，f(2)=2；
（3）f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），

f(m)=m f(n)=n

⇒

1 a - 1 m =m 1 a - 1 n =n

⇒

am2-m+a=0 an2-n+a=0

，方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂，可得答案．

解答：解：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∵f(x2)-f(x1)=(

1

a

-

1

x2

)-(

1

a

-

1

x1

)=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，∴f(

1

2

)=

1

2

，f(2)=2，易得a=

2

5

．
（3）依题意得

f(m)=m f(n)=n

⇒

1 a - 1 m =m 1 a - 1 n =n

⇒

am2-m+a=0 an2-n+a=0

又∵0＜m＜n，∴方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂
又∵a＞0，对称轴x=

1

2a

＞0∴

△=1-4a2＞0 x1+x2= 1 a ＞0 x1x2=1＞0

⇒0＜a＜

1

2

∴实数a的取值范围为(0， 

1

2

)．

点评：本题为函数单调性的证明，并利用单调性来解决问题，把方程有两实根转化为二次函数问题是解决问题的关键，属中档题．