Question

已知曲线y=ax³-bx(a≠0)上有两个不同的点A、B,且过A、B两点的切线都垂直于直线AB.

(1)试判断A、B两点是否关于原点对称,并说明理由；

(2)求出a、b所满足的条件.

Answer 1

解：(1)由y=ax³-bx,得y′=3ax²-b.

设A、B两点坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)(x₁≠x₂).

由题意,过A、B两点的切线平行,

∴3ax₁²-b=3ax₂²-b,

即x₁²=x₂²,由于x₁≠x₂,∴x₁=-x₂.

又∵y₁=ax₁³-bx₁=-ax₂³+bx₂=-(ax₂³-bx₂)=-y₂,

∴A、B两点关于原点对称.

(2)由(1)知,直线AB必过原点,

∴直线AB的斜率k==ax₁²-b.而过A的切线与直线AB垂直.

∴(3ax₁²-b)·(ax₁²-b)=-1,即3a²x₁⁴-4abx₁²+b²+1=0.

令x₁²=t,则关于t的方程3a²t²-4abt+b²+1=0在(0,+∞)上有根.

此方程有两正根,其充要条件为4a²b²-3a²(1+b²)≥0且＞0,

∴得ab＞0且|b|≥a＞0,b≥或a＜0,b≤.