Question

已知函数f(x)=

ax2+bx

x+1

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x-4y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=2ln（x+1）-mf（x），若当x∈[0，+∞）时，恒有g（x）≤0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x-4y+1=0，建立方程组，即可求a，b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

x2+x

x+1

，g(x)=2ln(x+1)-m

x2+2x

x+1

(x＞-1)，求导函数，构建新函数h（x）=-mx²+（2-2m）x+2-2m，分类讨论，确定g（x）在[0，+∞）上的单调性，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

(2ax+b)(x+1)-(ax2+bx)

(x+1)2

．
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是5x-4y+1=0．
∴

f(1)= 3 2 f′(1)= 5 4

，∴

a+b 2 = 3 2 3a+b 4 = 5 4

，∴

a=1 b=2

-------（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)=

x2+2x

x+1

，∴g(x)=2ln(x+1)-m

x2+2x

x+1

(x＞-1)，则g′(x)=

-mx2+(2-2m)x+2-2m

(x+1)2

，--------------------------（6分）
令h（x）=-mx²+（2-2m）x+2-2m，
当m=0时，h（x）=2x+2，在x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．
当m＜0时，∵-

2-2m

-2m

=

1

m

-1＜0且h（0）=2-2m＞0
∴x∈[0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上是增函数，则g（x）≥g（0）=0，不满足题设．-----------------（8分）
当0＜m＜1时，则△=（2-2m）²+4m（2=2m）=4（1-m²）＞0，
由h（x）=0得x1=

1-m- 1-m2

m

＜0；x2=

1-m+ 1-m2

m

＞0
则x∈[0，x₂）时，h（x）＞0，g′（x）＞0即g（x）在[0，x₂）上是增函数，则g（x₂）≥g（0）=0，不满足题设．-----------（10分）
当m≥1时，△=（2-2m）²+4m（2=2m）=4（1-m²）≤0，h（x）≤0，g′（x）≤0，即g（x）在[0，+∞）上是减函数，则g（x）≤g（0）=0，满足题设．
综上所述，m∈[1，+∞）-------------------------------------------------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．