题目内容
已知抛物线y2=2px，过顶点的两弦OA和OB互相垂直，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程．
分析：设出A，B坐标；利用向量垂直的充要条件得到A，B纵坐标的乘积是常数；写出以OA，OB为直径的圆；将A，B点的纵坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理表示出A，B的纵坐标乘积；列出等式得到p的轨迹方程．
解答：解：设A(
，y1)，B(
，y2)由于OA⊥OB
所以
+y1y2=0即y1•y2=-4p2 ①
以OA为直径的圆为x(x-
)+y(y-y1)=0
以OB为直径的圆为x(x-
)+y(y-y2)=0
设P（x0，y0）为两圆的交点
所以y1，y2可以看做关于z的方程x0(x0-
)+y0(y0-z)=0的两个根
即x0z2+2py0z-2p（x02+y02）=0
由韦达定理得y1•y2= -
结合①得x02+y02=2px0
所以P的轨迹方程是（x-p）2+y2=p2（x≠0）
| y12 |
| 2p |
| y22 |
| 2p |
所以
| y12•y22 |
| 4p2 |
以OA为直径的圆为x(x-
| y12 |
| 2p |
以OB为直径的圆为x(x-
| y22 |
| 2p |
设P（x0，y0）为两圆的交点
所以y1，y2可以看做关于z的方程x0(x0-
| z2 |
| 2p |
即x0z2+2py0z-2p（x02+y02）=0
由韦达定理得y1•y2= -
| 2p(x02+y02) |
| x0 |
结合①得x02+y02=2px0
所以P的轨迹方程是（x-p）2+y2=p2（x≠0）
点评：本题考查向量垂直的充要条件、以一线段为直径的圆的方程、二次方程的根与系数的关系．
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