Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）， ．

（2）当时， 在单调递增；当时， 在单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减．（3）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数，根据导函数符号是否变化进行分类讨论： 时， ， 时， ， 时，先负后正，最后根据导数符号对应确定单调性（3）将不等式恒成立转化为对应函数最值，由（2）得，即，整理化简得，解得的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）当时， ，∴.

∵的定义域为，∴由得.

∴在区间上的最值只可能在， ， 取到，而， ， ，

∴，

（Ⅱ）， .

①当，即时， ，∴在上单调递减；

②当时， ，∴在上单调递增；

③当时，由得，∴或（舍去）

∴在单调递增，在上单调递减；

综上，当， 在上单调递增；

当时， 在单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，

即原不等式等价于即整理得

∴，又∵，∴的取值范围为.