Question

如图l，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，DC⊥BC，将△DCB沿BD折起，使AC⊥BC，如图2．点E在DC上，AE=且AE⊥DC，若二面角A-BD-C的正弦值为．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知先证BC⊥平面ACD，则BC⊥AE，结合AE⊥DC，可证得AE⊥平面BCD，再由线面垂直的定义证得AE⊥BD；
（2）三棱锥D-ABE的体积，即三棱锥A-BDE的体积，求出三角形BDE的面积，代入棱锥体积公式，可得答案．
解答：证明：（1）∵AC⊥BC，DC⊥BC，AC∩DC=C
∴BC⊥平面ACD
又∵AE?平面ACD
∴BC⊥AE
又∵AE⊥DC，DC∩BC=C
故AE⊥平面BCD
又∵BD?平面BCD
∴AE⊥BD；
（2）取BD的中点M，连接AM，EM，
∵AB=AD，则AM⊥BD
又∵AE⊥BD，AM∩AE=A
∴BD⊥平面AEM∴EM⊥BD
∴∠AME即为二面角A-BD-C的平面角
在Rt△AEM中，AE=，AM===3，EM=
又∵AB=AD，AB⊥AD，故△ABD为等腰直角三角形，故DB=6
∴三棱锥D-ABE的体积V_D-ABE=V_A-DBE=••EM•DB•AE=3
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角求求法，棱锥的体积，空间中直线与直线的位置关系，（1）要熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是构造出二面角的平面角，然后解三角形求出棱锥的棱长．