Question

(本题16分)数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2  (nÎN*)，数列{b_n}的前n项和为S_n．

(1)若数列{a_n}的公差d等于首项a₁，试用数学归纳法证明：对于任意nÎN*，都有S_n=；

(2)若数列{a_n}满足：3a₅=8a₁₂>0，试问n为何值时，S_n取得最大值？并说明理由．

Answer 1

(1)当n=1时，S₁=b₁，==b₁，原式成立．……………………1分

假设当n=k时，S_k=成立，………………………………………………2分

则S_k+1=S_k+b_k+1=…………………………………………………4分

====……6分

所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意nÎN*，都有S_n=；……………8分

(2)因为3a₅=8a₁₂>0，所以3a₅=8(a₅+7d)，a₅= –>0，所以d<0

又a₁₆=a₅+11d = –>0，a₁₇=a₅+12d = <0，………………………………………11分

所以a₁>a₂>a₃>…>a₁₆>0>a₁₇>a₁₈…，b₁>b₂>b₃>…>b₁₄>0>b₁₇>b₁₈…，

因为b₁₅=a₁₅a₁₆a₁₇<0，b₁₆=a₁₆a₁₇ a₁₈>0，………………………………………………13分

a₁₅=a₅+10d = –>0，a₁₈=a₅+13d = <0，

所以a₁₅<–a₁₈，所以b₁₅> –b₁₆，b₁₅+b₁₆>0，……………………………………………15分

故S₁₆>S₁₄，所以S_n中S₁₆最大．………………………………………………………16分