题目内容

（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（A）（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线 $数学公式$ 的距离的最小值是．
（B）（选修4-5不等式选讲）已知2x+y=1，x＞0，y＞0，则 $数学公式$ 的最小值是．
（C）（选修4-1几何证明选讲）若直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，则△ABC的面积为．

$\text{[math]}$ 9 2
分析：（A）把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心（0，1）到直线的距离，此距离减去半径即为所求．
（B）先对 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 再将它乘以1结果保持不变，将2x+y=1看为一个整体代入得（ $\text{[math]}$ ）×1=（ $\text{[math]}$ ）×（2x+y），再展开后运用基本不等式可求得最小值．
（C）设内切圆半径为r，由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，可得r²+3r=2，再根据△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ×（1+r）（2+r），运算求得结果．
解答：（A）曲线ρ=2sinθ化为直角坐标方程为x²+（y-1）²=1，直线ρsin（θ+ $\text{[math]}$ ）=4化为直角坐标方程为 $\text{[math]}$ x+y-8=0．
圆心（0，1）到直线的距离为 d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．则圆上的点到直线的最小距离为 $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ．
即点A到直线ρsin（θ+ $\text{[math]}$ ）=4的最小距离为 $\text{[math]}$ ．
（B）解：∵2x+y=1，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）×（2x+y）=5+ $\text{[math]}$ ≥5+4=9
当且仅当 $\text{[math]}$ 时等号成立，
则 $\text{[math]}$ 的最小值是 9．
（C）由于直角△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，且AD=1，BD=2，设内切圆半径为r，
则由勾股定理可得（1+r）²+（2+r）²=9，∴r²+3r=2．
△ABC的面积为 $\text{[math]}$ ×（1+r）（2+r）= $\text{[math]}$ （r²+3r+2）=2，
故答案为： $\text{[math]}$ ；9；2．
点评：A：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．
B：本题考查基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．在运用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”的要求．
C：本题主要考查绝对值不等式的解法，直线和圆相交的性质，圆的切线性质、圆的参数方程，以及三角形中的几何计算，属于中档题．

试题分类