Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量

m

=（

3

，-2sinA），

n

=（2cos²

A

2

-1，cos2A），且

m

‖

n

，A为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共线的条件，建立等式，结合A为锐角，即可求角A的大小；
（Ⅱ）根据a=2，利用余弦定理及基本不等式，结合三角形面积公式，即可求△ABC的面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

，-2sinA），

n

=（2cos²

A

2

-1，cos2A），且

m

‖

n

，
∴

3

cos2A=-2sinA（2cos²

A

2

-1），
∴

3

cos2A=-2sinAcosA，
∴

3

cos2A=-sin2A，
∴tan2A=-

3

∵A为锐角
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=2，∴4=b²+c²-2bccos

π

3

∴4=b²+c²-bc≥bc（当且仅当b=c时等号成立）
∴b=c时，bc取得最大值4
∵△ABC的面积等于

1

2

bcsinA
∴△ABC的面积的最大值为

3

．

点评：本题考查向量共线的条件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．