Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+(a-1)n(a∈R).设集合A={(a_n,)|n∈N^*},B={(x,y)|x²-y²=1,x、y∈R}.

(1)求数列{a_n}的通项公式.

(2)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上?并说明理由.

(3)“A∩B至多只有一个元素”是否正确?如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.

Answer 1

解:(1)当n=1时,a₁=S₁=1+a-1=a;

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=［n²+(a-1)n］-［(_n-1)²+(a-1)(_n-1)］=2n+a-2.

可见,当n=1时,满足上式.

∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+a-2(n∈N^*).

(2)由数列{a_n}的通项公式a_n=2n+a-2,可知数列{a_n}是等差数列.

∴S_n=.∴(a_n+a).

∴点(a_n, )的坐标满足方程y=(x+a).

∴点(a_n, )在直线y=(x+a)上.

∴以集合A中的元素为坐标的点(a_n, )均在直线y=(x+a)上.

(3)由消去y,

得2ax=-a²-4.①当a=0时,方程①无解,此时,A∩B=?;

当a≠0时,方程①只有一个解x=.

此时方程组也只有一个解,即x=

故上述方程组至多有一解,∴A∩B至多有一个元素.