若集合A具有以下性质:①0∈A.1∈A,②若x.y∈A.则x-y∈A,且x≠0时.$\frac{1}{x}∈A$.则称集合A是“完美集．给出以下结论:①集合B={-1.0.1}是“完美集 , ②有理数集Q是“完美集 ,③设集合A是“完美集 .若x.y∈A.则x+y∈A,④设集合A是“完美集 .若x.y∈A.则必有xy∈A,⑤对任意的一个“完美集 A.若x.y� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．若集合A具有以下性质：
①0∈A，1∈A；
②若x，y∈A，则x-y∈A；且x≠0时，$\frac{1}{x}∈A$，则称集合A是“完美集”．给出以下结论：
①集合B={-1，0，1}是“完美集”；
②有理数集Q是“完美集”；
③设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则x+y∈A；
④设集合A是“完美集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；
⑤对任意的一个“完美集”A，若x，y∈A，且x≠0，则必有$\frac{y}{x}∈A$．
其中正确结论的序号是②③④⑤．

分析根据完美集的定义容易判断集合B不是完美集，而有理数是完美集．对于完美集A，x，y∈A时，容易得到-y∈A，从而得到x+y=x-（-y）∈A，对于④说明，可先说明x²∈A：x=0，或1时显然成立，x≠0，且x≠1，便有x-1，$\frac{1}{x}，\frac{1}{x-1}∈A$，从而可得到$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$∈A，这样即可得到x²∈A，从而（x+y）²，y²∈A，所以2xy=（x+y）²-（x²+y²）∈A，这样即可得到xy∈A，而⑤的判断由④即可得到．

解答解：①-1，1∈A，而-1-1=-2∉A，所以集合B不是“完美集”，∴①错误；
②0∈Q，1∈Q，有理数的差还是有理数，有理数分整数和分数，所以x∈Q，x≠0时，$\frac{1}{x}∈Q$，∴②正确；
③A是完美集，∴x，y∈A时，x-y∈A，∴x-y-x=-y∈A，∴x-（-y）=x+y∈A，所以③正确；
④A是完美集，∴x，y∈A时，（1）若x=0，或1，则x²∈A；
（2）若x≠0，且x≠1，则x-1，$\frac{1}{x-1}，\frac{1}{x}$∈A，∴$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{{x}^{2}-x}∈A$；
∴x²-x∈A，x²-x+x=x²∈A；
∴x∈A得到x²∈A；
∴y²∈A，x²+y²∈A，（x+y）²∈A；
∴2xy=（x+y）²-（x²+y²）∈A；
若x，y有一个为0，则xy∈A，若x，y都不为0，则：
$\frac{1}{xy}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}∈A$，∴xy∈A；
∴x∈A，y∈A，得到xy∈A，所以④正确；
⑤A是完美集，x，y∈A，x≠0，所以由前面知$\frac{1}{x}∈A，\frac{1}{x}•y=\frac{y}{x}∈A$，所以⑤正确．
∴正确结论的序号为②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．