Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若点D为BC边的中点，∠CAD=

π

6

，CD=1，求c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：利用正弦定理把边化角，利用两角和差的正弦公式和诱导公式化简，由内角的范围取舍，求出角B的值，
方法二：利用余弦定理把角化边，化简后代入余弦定理的推论，求出B的余弦值，再求出B的值；
（Ⅱ）由正弦定理在△ACD，△ABD中分别列出两个方程，再由（1）和条件，用内角和定理求出∠ABC，再把条件代入方程化简，由内角的范围求出角C的值，分情况判断三角形的形状求出对应的c．

解答：解：（Ⅰ）方法一：
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

a

b

=

sinA

sinB

，

c

b

=

sinC

sinB

．
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2

sinA

sinB

-

sinC

sinB

)cosB=cosC．
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA．
∵A∈（0，π），∴sinA≠0．∴cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
方法二：
∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴(2a-c)

a2+c2-b2

2ac

=b

a2+b2-c2

2ab

，
化简得 a²+c²-b²=ca，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

，
（Ⅱ）在△ACD，△ABD中，

CD

sin∠CAD

=

AD

sinC

，

BD

sin∠BAD

=

AD

sinB

．
由（Ⅰ）知：B=

π

3

．
∵点D为BC边的中点，∠CAD=

π

6

，∴∠ABC=π--

π

3

-

π

6

-C=

π

2

-C，
∴

1

sin π 6

=

AD

sinC

，

1

sin( π 2 -C)

=

AD

sin π 3

，
化简得sin2C=

3

2

，
∵C∈(0，

π

2

)，∴2C∈（0，π），
∴2C=

π

3

或

2π

3

，即C=

π

3

或C=

π

6

，
当C=

π

3

时，△ABC为等边三角形，由CD=1可得：AB=2CD=2；
当C=

π

6

时，∠BAD=

π

2

-

π

6

=

π

3

，所以△ABD为等边三角形，由CD=1可得：AB=BD=CD=1．
综上得，c=2或c=1．

点评：本题考查了正（余）弦定理在解三角形中的综合应用：边角互化或求值，以及内角和定理，倍角的正弦公式，注意求出三角函数值再求角时，一定要判断角的范围．