Question

（2010•石家庄二模）各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

an+an+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的定义可判断数列a_n²为等差数列，a_n²可求，可求得a_n；
（2）由（1）可求得an=

2n-1

，将

1

an+an+1

分母有理化后求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴{a_n²}为首项是1，公差为2的等差数列，…（2分）
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，则an=

2n-1

．…（5分）
（Ⅱ）因为an=

2n-1

，
则

1

an+an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

2n+1 - 2n-1

2

．…（8分）
∴

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=

1

2

(

3

-1+

5

-

3

+…+

2n+1

-

2n-1

)…（10分）
=

1

2

(

2n+1

-1）．…（12分）

点评：本题考差数列求和，解决的关键是将

1

an+an+1

分母有理化，属于中档题．