Question

已知函数f（x）=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

） n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=∑（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，设数列{b_n}的通项公式为b_n=

1

6

n-

3

2

，求b_n•T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）将

1

an

代入f（x）=

2x+3

3x

，即可得到a_n+1-a_n=

2

3

，利用等差数列通项公式得解
（2）利用分组求和法求出Tn，进而得到数列b_n•T_n的通项公式，利用数列的函数性质，得到数列的单调性，即可得数列的最值

解答：解：（1）∵f（x）=

2x+3

3x

，∴a_n+1=f（

1

an

）=

2× 1 an + 3

3× 1 an

=an+

2

3

，即a_n+1-a_n=

2

3

∴数列{a_n}为等差数列，a_n=1+

2

3

（n-1）=

2

3

n+

1

3

（2）T_2n=

2n

i=1

（-1）ⁱ⁺¹a_ia_i+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）=-

4

3

（a₂+a₄+…+a_2n）
=-

4

3

•

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=-

1

9

[(2n)2+6(2n)]，∴T_n=-

1

9

(n2+6n)，
∴b_n•T_n=-

1

54

（n³-3n²-54n）．
设g（x）=x³-3x²-54x （x＞0），∵g′（x）=3x²-6x-54．
由g′（x）＞0 得x＞1+

19

，∴g（x）在（0，1+

19

]上单调递减，在[1+

19

，+∞）上单调递增
∴数列b_n•T_n在（0，5]上单调递增，在[6，+∞）上单调递递减
∴b₁T₁＜b₂T₂＜…＜b₅T₅，b₆T₆＞b₇T₇＞b₈T₈＞…，又b₅T₅=

110

27

，b₆T₆=

108

27

，∴b_n•T_n≤

110

27

，
故 b_n•T_n最大值为

110

27

．

点评：本题综合考查了等差数列的通项公式，分组求和法求和以及数列最值的求法，特别注意体会函数在数列中的应用