Question

（2013•嘉兴二模）已知函数f(x)=

a

2

x2-2x+(a-4)lnx，a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上有极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数定义域，a=1时求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，由导数符号即得函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求导数f′（x）=

ax2-2x+a-4

x

（x＞0），令h（x）=ax²-2x+a-4，则f（x）在（1，2）上有极值，等价于h（x）=ax²-2x+a-4=0有两个不等根且在（1，2）上有根．分离出参数a后，转化为求函数值域解决；

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
若a=1，则f（x）=

1

2

x2-2x-3lnx．
f′（x）=x-2-

3

x

=

x2-2x-3

x

=

(x-3)(x+1)

x

．
当x∈（0，3）时，f′（x）＜0；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0．
所以函数有极小值f（3）=-

3

2

-3ln3，无极大值．
（II）f′（x）=ax-2+

a-4

x

=

ax2-2x+a-4

x

（x＞0）．
记h（x）=ax²-2x+a-4．
若f（x）在（1，2）上有极值，则h（x）=0有两个不等根且在（1，2）上有根．
由ax²-2x+a-4=0得a（x²+1）=2（x+2），
所以a=

2(x+2)

x2+1

=

2

(x+2)+ 5 x+2 -4

．
令x+2=t，则t=x+2∈（3，4），y=t+

5

t

-4在（3，4）上递增，
所以t+

5

t

-4∈（

2

3

，

5

4

），

2

t+ 5 t -4

∈(

8

5

，3)，
故a∈（

8

5

，3），
经检验当a∈∈（

8

5

，3）时，方程h（x）=0无重根．
故函数f（x）在（1，2）上有极值时a的取值范围为（

8

5

，3）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及函数在某点取得极值的条件，解决（II）问的关键是对问题进行等价转化，变为方程根的分布问题加以解决．