Question

设函数f（x）=x²+x-．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[-，]，求a的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=-，
∴对称轴为x=-．∵-＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即．
（2）∵f（x）的最小值为-，
∴对称轴x=-∈[a，a+1]．
∴
解得-≤a≤-．
∵区间[a，a+1]的中点为x₀=a+，
当a+≥-，即-1≤a≤-时，
f（x）最大值为f（a+1）=．
∴（a+1）²+（a+1）-=．
∴16a²+48a+27=0．
∴a=-．
当a+＜-，即-≤a＜-1时，
f（x）最大值为f（a）=，
∴a²+a-=．
∴16a²+16a-5=0．
∴a=-．
综上知a=-或a=-．
分析：本题考查二次函数的值域问题，第（1）小问考查的是定轴定区间的值域问题，比较容易，第（2）小问是值域逆向问题，由于区间含有参数a，所以需要对函数的对称轴与区间的位置关系进行讨论，有时还需要考虑区间的中点与对称轴的位置关系．
点评：本题涉及的主要数学思想是分类讨论的思想，对于分类讨论的题目，我们要弄清楚分类的标准，做到不重复不漏掉；