Question

（2011•海淀区二模）已知数列{a_n}满足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），记数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t），则f（t）=

t2+2t 4 (t为偶数) (t+1)2 4 (t为奇数)

．

Answer 1

分析：根据题意可知数列{a_n}是以t为首项，-2为公差的等差数列，可求其通项公式a_n=-2n+t+2，前n项和S_n=（-n+t+1）•n=-(n-

t+1

2

)2+

(t+1)2

4

，对n分奇数与偶数讨论可得数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t）．

解答：解：由题意可知数列{a_n}是以t为首项，-2为公差的等差数列，
∴a_n=t+（n-1）×（-2）=-2n+t+2，（t∈N^*，n∈N^*），设其前n项和为S_n，
则S_n=

[t+(-2n+t+2)]•n

2

=（-n+t+1）•n=-(n-

t+1

2

)2+

(t+1)2

4

，
若t为偶数，则n=

t

2

或n=

t+2

2

时，S_nmax=

t2+2t

4

；
若t为奇数，则t+1为偶数，当n=

t+1

2

时，S_nmax=

(t+1)2

4

；
∴f（t）=

t2+2t 4 (t为偶数) (t+1)2 4 (t为奇数)

故答案为：

t2+2t 4 (t为偶数) (t+1)2 4 (t为奇数)

．

点评：本题考查等差关系的确定，着重考查等差数列的求和及综合应用，难点在于对t∈N^*，的正确理解与应用（需要分类讨论），属于中档题．