Question

在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：
（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C₁₀³，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C₃^kC₇^3-k，写出概率，分布列和期望．
（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
由于从10件产品中任取3件的结果为C₁₀³，
从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C₃^kC₇^3-k，
那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，k=0，1，2，3．
∴随机变量X的分布列是

x	0	1	2	3
p	7 24	21 40	7 40	1 120

∴X的数学期望EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A₁
“恰好取出2件一等品“为事件A₂，
”恰好取出3件一等品”为事件A₃由于事件A₁，A₂，A₃彼此互斥，
且A=A₁∪A₂∪A₃而P(A1)

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，
P（A₂）=P（X=2）=

7

40

，P（A3）=P（X=3）=

1

120

，
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的类型题目．