Question

△ABC的三个顶点为A（-1，2）、B（2，1）、C（3，4）．
（1）求△ABC外接圆的标准方程；
（2）求BC边中线所在直线截其外接圆的弦长．

Answer 1

分析：（1）设△ABC的外接圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由A、B、C三点在圆上建立关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值，即可得到△ABC外接圆的标准方程；
（2）利用中点坐标公式，算出BC的中点D(

5

2

，

5

2

)，从而得到直线AD的方程为x-7y+15=0，利用点到直线的距离公式算出外接圆心到直线AD的距离．最后根据垂径定理结合题中数据加以计算，可得直线AD截外接圆所得的弦长．

解答：解：（1）设△ABC的外接圆方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵A（-1，2）、B（2，1）、C（3，4），三点在圆上，
∴

(-1-a)2+(2-b)2=r2 (2-a)2+(1-b)2=r2 (3-a)2+(4-b)2=2

，解之得a=1，b=3，r=

5

．
因此，△ABC外接圆的标准方程是（x-1）²+（y-3）²=5；
（2）设△ABC外接圆的圆心为M（1，3）
∵B（2，1）、C（3，4），∴BC的中点D(

5

2

，

5

2

)，
可得直线AD的斜率k =

5 2 -2

5 2 +1

=

1

7

，直线AD为y-2=

1

7

（x+1），化简得x-7y+15=0，
∴M（1，3）到直线AD的距离d=

|1-3×7+15|

12+(-7)2

=

2

2

，
又∵△ABC外接圆的半径r=

5

，
∴根据垂径定理，可得直线AD截△ABC外接圆所得的弦长为：2

r2-d2

=2

( 5 )2-( 2 2 )2

=3

2

．

点评：本题给出三角形的三个顶点坐标，求它的外接圆方程并求中线所在直线被外接圆截得的弦长．着重考查了圆的标准方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．