Question

设x，y满足约束条件

x+y+2≥0 2x+7y-6≤0 x≤0 y≥0

，若目标函数z=-ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为 8，则

4

a

+

2

b

的最小值为（　　）

Answer 1

分析：依题意，可求得目标函数z=-ax+by（a＞0，b＞0）经过点P（-4，2）时，有最大值8，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵x，y满足约束条件

x+y+2≥0 2x+7y-6≤0 x≤0 y≥0

，
∴可行域如下图：

由图可知，当目标函数z=-ax+by经过可行域四边形PAOB（及其内部）的点P时，目标函数y=

ax+z

b

（a＞0，b＞0）在y轴上的截距达到最大值8，
∴由

x+y+2=0 2x+7y-6=0

解得P（-4，2）．
∴-a×（-4）+2b=8，即2a+b=4．（a＞0，b＞0）．
∴

4

a

+

2

b

=（

4

a

+

2

b

）•

1

4

（2a+b）=2+

1

2

+

b

a

+

a

b

≥

5

2

+2=

9

2

．（当且仅当a=b=

4

3

时取“=”）．
故选A．

点评：本题考查简单的线性规划问题，考查基本不等式在最值问题中的应用，考查作图能力与运算能力，属于中档题．