Question

设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值．

Answer 1

解 （1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．    
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，
所以f′（1）=1-a=0，解得a=1．
经检验，a=1符合题意．
（2）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．
令f′（x）=0得x=

1

a

．因为x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）上递增，在（

1

a

，+∞）上递减，
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，f（x）在（1，

1

a

）上递增，在（ 

1

a

，2）上递减，
所以x=

1

a

时，f（x）取最大值f（

1

a

）=-lna-1；
③当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a；
综上，①当0＜a≤

1

2

时，f（x）最大值为ln2-2a；②当

1

2

＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1．
③当a≥1时，f（x）最大值为-a．