Question

已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线的斜率是．
（1）求实数的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）在上的最大值为；（3）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y轴上．

解析试题分析：（1）求实数的值，由函数，由图像过坐标原点，得，且根据函数在点处的切线的斜率是，由导数几何意义可得，建立方程组，可确定实数的值，进而可确定函数的解析式；（2）求在区间的最大值，因为，由于是分段函数，可分段求最大值，最后确定最大值，当时，，求导得，，令，可得在上的最大值为，当时，．对讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；（3）这是探索性命题，可假设曲线上存在两点满足题设要求，则点只能在轴两侧．设的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数，曲线上存在两点使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．
试题解析：（1）当时，则 （1分）
依题意，得即，解得．     （3分）
（2）由（1）知，
①当时令得或     （4分）
当变化时的变化情况如下表：

		0			（）
	—	0