Question

（2012•蓝山县模拟）若f（x）=f₁（x）=

x

1+x

，f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），则f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=（　　）

• A．n
• B．

  9

  n+1

• C．

  n

  n+1

• D．1

Answer 1

分析：根据题意，依次求出f₂（x）、f₃（x）的解析式，分析可得f_n（x）的解析式，又由f（n）=

n

1+n

，计算可得f（n）+f_n（1）=1，将f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）变形为f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+…f（n）+f_n（1），计算可得答案．

解答：解：根据题意，
f₂（x）=f₁[f（x）]=

x

1+2x

，
f₃（x）=f₂[f（x）]=

x

1+3x

，
…
分析可得，f_n（x）=f_n-1[f（x）]=

x

1+nx

，则f_n（1）=

1

1+n

，
又由f（n）=

n

1+n

，则f（n）+f_n（1）=1，
故f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=f（1）+f₁（1）+f（2）+f₂（1）+…f（n）+f_n（1）=n，
故选A．

点评：本题考查抽象函数的运用，解题的关键是根据题意，正确求出f_n（x）的解析式．