Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x，x∈R
（1）当x为何值时，f（x）取得最大值，并求出其最大值；
（2）若0＜θ＜

π

4

，f（θ-

π

8

）=

2

3

，求sin（2θ-

π

6

）的值．

Answer 1

分析：（1）逆用二倍角的正弦与两角和的正弦可求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），再利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最大值及f（x）取得最大值时x的值；
（2）依题意，可求得sin2θ=

1

3

，0＜θ＜

π

4

，继而可求得cos2θ，利用两角差的正弦即可求得sin（2θ-

π

6

）的值．

解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x
=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为

2

．
（2）由f（θ-

π

8

）=

2

3

得

2

sin[2（θ-

π

8

）+

π

4

]=

2

3

，
化简得sin2θ=

1

3

，
又由0＜θ＜

π

4

得，0＜2θ＜

π

2

，故cos2θ=

1-sin22θ

=

2 2

3

，
∴sin（2θ-

π

6

）=sin2θcos

π

6

-cos2θsin

π

6

=

3 -2 2

6

．

点评：本题考查二倍角的正弦与两角和的正弦，突出考查正弦函数的性质及两角差的正弦，考查运算能力，属于中档题．