Question

已知函数f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，则函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值为（　　）

• A．28
• B．26
• C．27
• D．

  109

  4

Answer 1

分析：由题意，可先求出函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）定义域，再化简F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6，令f（x）=t，将求复合函数最值的问题转化为F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，

5

2

]的最值问题，即可解出最大值选出正确选项

解答：解：由于f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）
∴

x∈[1，3] x 2∈[1，3]

解得x∈[1，

3

]，
∴f（x）∈[2，

5

2

]，令f（x）=t
又F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6
∴F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，

5

2

]，
当t=

5

2

时，函数F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值为

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4

故选D

点评：本题考查对数函数单调性，二次函数在半区间上最值的求法，考查了配方的技巧，解题的关键是将求复合函数最值的问题转化求外层函数在内层函数值域上的最值问题，这是复合函数求最值，求值域时常采用的解题技巧