Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的边长为a，E、F分别是棱A₁B₁、CD的中点．
（1）证明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）求点B到截面C₁EAF的距离．

Answer 1

分析：（1）连接EF、AC₁和BC₁，推出直线B₁C⊥平面ABC₁，EF⊥平面ABC₁，即可证明：截面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）在平面ABC₁内，过B作BH，使BH⊥AC₁，H为垂足，利用面积相等求出点B到截面C₁EAF的距离．

解答：（1）证明：连接EF、AC₁和BC₁，易知四边形EB₁CF是平行四边形，
从而EF∥B₁C，直线B₁C⊥BC₁且B₁C⊥AB，
则直线B₁C⊥平面ABC₁，得EF⊥平面ABC₁．
而EF?平面C₁EAF，得平面C₁EAF⊥平面ABC₁．
（2）解：在平面ABC₁内，
过B作BH，使BH⊥AC₁，H为垂足，
则BH的长就是点B到平面C₁EAF的距离，
在直角三角形中，
BH=

AB•BC1

AC1

=

a 2 a

3 a

=

6 a

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．