Question

如图，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸（不知道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用 卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF=α，∠AFE=β，∠CEF=θ，∠CFE=φ，∠AEC=γ．请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．

Answer 1

分析：在三角形AEF中，利用正弦定理列出关系式，表示出AE，在三角形CEF中，同理表示出CE，在三角形ACE中，利用余弦定理列出关系式，将AE，CE的值代入即可得到AC的长．

解答：解：在△AEF中，利用正弦定理得：

AE

sinβ

=

EF

sin(180°-α-β)

，
解得：AE=

asinβ

sin(α+β)

，
在△CEF中，同理得到CE=

asinφ

sin(θ+φ)

，
则在△ACE中，利用余弦定理得：AC=

AE2+CE2-2AE•CE•cosγ

=

a2sin2β sin2(α+β) + a2sin2φ sin2(θ+φ) - 2a2sinβsinφcosγ sin(α+β)sin(θ+φ)

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．