Question

已知函数f（x）=asin（2ωx+

π

6

)+

a

2

+b（x∈R，a＜0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值是

7

4

，最小值是

3

4

．
（1）求ω，a，b的值；
（2）求出f（x）的单调递增区间；
（3）指出当f（x）取得最大值和最小值时x的集合．

Answer 1

分析：（1）由周期为π，根据周期公式可得，2ω=

2π

T

=2，则ω=1由函数f（x）的最大值是

7

4

，最小值是

3

4

，a＜0，可得

a+b= 3 4 -a+b= 7 4

  解得答案；
（2）要求函数（x）=-

1

2

sin（2x+

π

6

)+

3

2

的单调增区间，可求f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

)+

3

2

的单调减区间，由

π

2

+2kπ≤2x+ 

π

6

≤

3π

2

+2kπ可得函数的单调增区间；
（3）f（x）最大值时，2x+

π

6

=

3

2

π+2kπ；f（x）最小值时，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，求解即可．

解答：解：（1）∵最小正周期为π，由周期公式可得，2ω=

2π

T

=2，∴ω=1
∵函数f（x）的最大值是

7

4

，最小值是

3

4

，a＜0

a+b= 3 4 -a+b= 7 4

∴a=-

1

2

，b=

3

2

∴ω=1，a=-

1

2

，b=

3

2

（2）（x）=-

1

2

sin（2x+

π

6

)+

3

2

由

π

2

+2kπ≤2x+ 

π

6

≤

3π

2

+2kπ可得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z
∴函数的单调增区间为：[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈z
（3）f（x）最大值时，2x+

π

6

=

3

2

π+2kπ，此时有{x|x=

2π

3

+kπ，k∈z}；
f（x）最小值时，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，此时有{x|x=

π

6

+kπ，k∈z}

点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，考查了正弦函数的单调区间及函数的最值的求解及最值取得的条件，考查了对基础知识的综合运用能力．