Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）的对称轴方程，对称中心坐标．
（3）求f（x）的单调区间及取得最大值的x值．

Answer 1

分析：（1）由函数的图象得出A，求出函数的半周期，从而得出ω，代入最高点坐标求出φ，得函数的解析式；
（2）由（1）利用正弦函数的对称轴方程求解函数的对称轴方程，对称中心坐标求解对称中心坐标．
（3）通过正弦函数的单调区间求解函数的单调递区间，利用正弦函数的最值直接求解x的值．

解答：解：（1）由题设知，A=3，T=4×(

π

6

+

π

6

)=π，∴ω=2，
∴f（x）=3sin（2x+φ），∵3sin（2×

π

6

+φ）=3，∴sin（

π

3

+φ）=1，
∴

π

3

+φ=

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f（x）=3sin（2x+

π

6

）；
（2）由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
由2x+

π

6

=kπ得x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的对称中心坐标为（

kπ

2

-

π

12

，0）（k∈Z）；
（3）

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得

π

6

+kπ≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函数的单调增区间是[

π

6

+kπ，kπ+

2π

3

]， k∈Z．
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得x=kπ+

π

6

，k∈Z，
函数f（x）取得最大值．

点评：求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求y=Asin（ωx+φ）的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标时，要把ωx+φ看作整体，分别代入正弦函数的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标分别求出x，这儿利用整体的思想；求y=Asin（ωx+φ）的最大值，需要借助正弦函数的最大值的求解方法即可．