Question

已知数列的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．

（1）设数列的前项和为，且，．

①求满足的的最小值；

②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（2）设数列的前6项均为正整数，公比为，且，求的最小值．

Answer 1

（1）①设数列的前6项等比数列的公比为，从第5项起等差数列的公差为d．

由，，则；

又，解得或（舍，因为为整数），

所以，．故．……2分

所以…………4分

∵  ∴  由得

所以，满足的的最小值为18．……………………………6分

②假设存在正整数，使得成立，

即     由或得

所以，存在正整数，使得成立．…………………10分

（Ⅱ）设，由，…，都是正整数，则必为有理数．

设，其中s，r都是正整数，且，，则．

由，得，所以是的整数倍．

因此，．……………14分

当，时，即，时，取到最小值243．……16分