题目内容
已知数列的各项均为正数,表示该数列前项的和,且对任意正整数,恒有,设
(1) 求数列的通项公式;
(2) 证明:无穷数列为递增数列;
(3)是否存在正整数,使得对任意正整数恒成立,若存在,求出的最小值。
解析:(1)时,,,,解得
时,,,,作差得
,整理得,∵,∴,∴,对时恒成立,因此数列是首项为1,公差为1的等差数列,故;
(2)∵-=-
==,
对任意正整数恒成立∴无穷数列为递增数列。
(3)存在,且的最小值为7。
∵∴若存在正整数,必有。
又===
===
当时∵<
∴
即
∴2=2+=<=
∴;
因此存在正整数使得对任意正整数恒成立,且的最小值为7。
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