题目内容

已知数列的各项均为正数,表示该数列前项的和,且对任意正整数,恒有,设

(1)      求数列的通项公式;

(2)      证明:无穷数列为递增数列;

(3)是否存在正整数,使得对任意正整数恒成立,若存在,求出的最小值。

解析:(1)时,,解得

时,,作差得

,整理得,∵,∴,∴,对时恒成立,因此数列是首项为1,公差为1的等差数列,故

(2)∵=

==

对任意正整数恒成立∴无穷数列为递增数列。

(3)存在,且的最小值为7。

∴若存在正整数,必有

===

===

时∵

∴2=2+=<=

;

因此存在正整数使得对任意正整数恒成立,且的最小值为7。

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