Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1处有极大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得f'（-1）=0且f（-1）=7．由此结合导数的运算法则，建立关于a、b的方程组，解出a=3且b=-2，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由导数的几何意义，求出f'（x）在x=1处的函数值，得到曲线f（x）在x=1处的切线斜率，结合切点坐标（1，f（1）），利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到所求切线的方程．

解答：解：（1）求导数，得f′（x）=6x²-2ax+6b，
∵x=-1处函数有极大值7；
∴

f′(-1)=6+2a+6b=0 f(-1)=-2-a-6b=7

，解之得a=3且b=-2
由此可得，f（x）的解析式为f（x）=2x³-3x²-12x；
（2）由（1）得f'（x）=6x²-6x-12
∴曲线f（x）在x=1处的切线斜率k=f'（1）=-12
切点坐标为（1，f（1）），即（1，-13）
所求切线方程为y+13=-12（x-1），即y=-12x-1．

点评：本题给出三次多项式函数满足的条件，求函数的解析式并求图象的切线．着重考查了导数的运算法则、函数极值的意义和导数的几何意义等知识，属于中档题．