Question

已知函数f(x)=

x

x+b

的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数b的值；
（2）画出函数f（x）的大致图象，并指出函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）易求f（x）的反函数f^-1（x），由函数f(x)=

x

x+b

的图象关于直线y=x对称可得f（x）≡f^-1（x），由此即可求得b值；
（2）先求得函数f（x）的定义域，y=f（x）可变形为（x-1）（y-1）=1，由此可判断其图象是反比例函数型的双曲线，从而可画出图象，据图象可得其单调区间；

解答：（1）令y=

x

x+b

，反解x得x=

by

1-y

，即f（x）的反函数为f-1(x)=

bx

1-x

．
∵函数f(x)=

x

x+b

的图象关于直线y=x对称，
∴f(x)=

x

x+b

≡f-1(x)=

bx

1-x

，解得 b=-1． 
（2）∵f(x)=

x

x-1

的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
∴y=

(x-1)+1

x-1

=1+

1

x-1

，得 y-1=

1

x-1

，即（x-1）（y-1）=1，
表明其图象是反比例函数型的双曲线，因此，其大致图象如右图所示：
函数的单调减区间是（-∞，1）和（1，+∞）．

点评：本题考查函数图象的作法及反函数，考查学生的运算求解能力．