Question

已知实数x、y满足x²+y²≤1，则|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|的取值范围是

[5-

2

，7]

．

Answer 1

分析：令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[-π，π]，z=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|，化简可得z=|

2

sin（θ+

π

4

）|+5+cosθ-sinθ．
当θ∈[-

π

4

，

3π

4

]时，化简z，并求出其范围，当θ∈[-π，-

π

4

]∪[

3π

4

，π]时，化简z，并求出其范围，将这两个范围取并集即为所求．

解答：解：令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[-π，π]．
设 z=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|=|cosθ+sinθ|+|sinθ+1|+|2sinθ-cosθ-4|=|cosθ+sinθ|+sinθ+1+（-2sinθ+cosθ+4）
=|

2

sin（θ+

π

4

）|+5+cosθ-sinθ．
当θ∈[-

π

4

，

3π

4

]时，cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）≥0，z=cosθ+sinθ+5+cosθ-sinθ=5+2cosθ，
 5-

2

≤z≤7．
当θ∈[-π，-

π

4

]∪[

3π

4

，π]时，cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）≤0，z=-（cosθ+sinθ）+5+cosθ-sinθ=5-2sinθ，
  5-

2

≤z≤7．
综上，5-

2

≤z≤7，
故答案为：[5-

2

，7]．

点评：本题主要考查带绝对值的函数，三角恒等代换，正弦函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．