Question

已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0
（1）直线l过点P（4，-4）被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程；
（2）已知Q（3，1）为圆内一点，求以Q为中点的弦所在直线方程．

Answer 1

分析：（1）化已知圆为一般式，得到圆心C（1，2），半径r=5．利用垂径定理结合题意建立关系式，得出圆心到直线的距离为d=3，再利用直线方程的点斜式方程和点到直线的距离公式列式，即可解出满足条件的直线l的方程；
（2）根据垂径定理知以Q为中点的弦垂直于点Q与圆心C的连线，从而算出弦所在直线斜率，求出直线方程2x-y-5=0，即为以Q为中点的弦所在直线方程．

解答：解：（1）圆方程可化为（x-1）²+（y-2）²=5，
∴圆心C（1，2），半径r=5…（2分）
设圆心C到l的距离为d，则d2+(

|AB|

2

)2=r2，
∴d=

r2-( AB 2 )2

=

52-42

=3…（4分）
当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=4，
点C（1，2）到l的距离为d=|4-1|=3，符合题意…..（6分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y+4=k（x-4），即kx-y-4k-4=0
d=

|k-2-4k-4|

k2+(-1)2

=

|3k+6|

k2+1

=3，解得k=-

3

4

…（8分）
∴直线l的方程为3x+4y+4=0…．（9分）
综上所述，直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0…..（10分）
（2）根据垂径定理，可知以Q为中点的弦垂直于点Q与圆心C的连线，
∵CQ的斜率kCQ=-

1

2

，∴弦所在直线斜率k=2…．（12分）
因此，弦所在直线方程为y-1=2（x-3），
化成一般式得2x-y-5=0，即为以Q为中点的弦所在直线方程…．（14分）

点评：本题给出定圆与定点，求满足条件的直线方程．着重考查了圆的方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．